中考数学知识点归纳总结合集4篇。
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中考数学知识点归纳总结(篇1)
中考数学考点整理
一、计算题：
科学计数法、倒数相反数绝对值、简单概率运算、三视图求原图面积、三角形(相似、全等、内角外交关系)、统计(众数、中位数、平均数)、二次函数(顶点、对称轴、表达式)、函数图像关系
二、填空题：
因式分解、二次函数解析式求解、三角形(相似、周长面积计算)、坐标(坐标点运动规律)、直线和反比例函数图像问题
三、问答题：
次方、开方、三角函数、次幂(0次、-1次)计算;
求解不等式组;
分式、多项式化简(整体代入方法求值);
方程组求解;
几何图形中证明三角形边相等;
一次函数与二次函数;
四、图形题
四边形边长、周长、面积求解;
圆相关问题(切割线、圆周角、圆心角);
统计图;
在数轴中求三角形面积;
五、解答题
二次函数(解析式、直线方程);
圆与直线关系;
三角形角度相关计算;
总体来说中考题，题目多，需要熟练掌握相关的知识点，快速做题。近些年中考数学题型都比较固定、难度适宜，需要在正确率方面留心，对于三角形、四边形面积计算知识板块要高度重视。
中考数学知识点苏教版
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)。
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看;
5.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：①从外形上判断;②区别：是根式，但不是无理式(是无理数)。
7.算术平方根
⑴正数a的正的'平方根([a≥0—与“平方根”的区别]);
⑵算术平方根与绝对值
①联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴(—幂，乘方运算)。
①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，
⑵零指数：=1(a≠0)。
负整指数：=1/(a≠0,p是正整数)。
数学中考知识点苏教版
一、圆的定义
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
(1)劣弧：小于半圆周的弧。
(2)优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质
1、圆的对称性
(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：
平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。)
8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
中考数学知识点归纳总结(篇2)
一、注重预习，指导自学。
我个人认为，预习应该来说在初中阶段还是占有比较重要的地位的，而在小学阶段一般不那么重视，因此，到了初一大多数学生不会预习，即使预习了，也只是将课文从头到尾读一遍。在指导学生预习时应要求学生做到：一粗读，首先大致浏览教材的有关内容，掌握本节知识的概貌。二细读，对重要概念、公式、法则、定理反复阅读、体会、思考，注意知识的形成过程，对难以理解的概念作出记号，多问些为什么，以便带着疑问去听课。方法上可采用随课预习或单元预习。预习前教师先布置预习提纲，使学生有的放矢。课堂上带着自己的问题听老师讲课，这样可以有目的的学习，提高课堂的有效时间。
二、认真听讲，会记笔记
课堂听讲很重要，认真听课可以事半功倍。由于课前进行了充分复习，对本节课还有不理解的地方，那么在老师的讲课过程中，看老师是如何讲解这个知识点的，对比一下自己在预习过程自己存在的障碍。
对于自己已经理解的知识点也要认真听课，加深记忆，看老师有什么独到之处，对老师强调的地方更应该引起自己的注意。初一学生一般不会合理记笔记，通常是教师黑板上写什么学生就抄什么，往往是用记
代替听和思。有的笔记虽然记得很全，但收效甚微。因此在作笔记时注意：记笔记服从听讲，要掌握记录时机;记要点、记疑问、记解题思路和方法;记小结、记课后思考题。记笔记是为了更好地总结和复习，切忌在课堂上一味抄写老师的板书。
三、先复习后做作业
首先应树立正确的作业观，不要为完成作业而完成作业，作业是为了学生更好地掌握知识，让老师了解学生存在的问题。而许多同学做作业时，通常是拿起题就做，一旦遇到困难了，才又回过头来翻书、查笔记，这是一种不良的习惯。做作业的第一步应是先复习有关的知识。复习时可以采取过电影的方式，在头脑中搜索一下课堂上老师所讲解的知识，努力将所学知识回忆起来。若实在回忆不起来，再翻开课本
或笔记阅读对照，通过这种方式将所学知识温习一遍，做到心中有数后再去做作业。做完题后，应该从头到尾仔细浏览一遍，检查一下解题的步骤、思路是否正确。
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中考数学知识点归纳总结(篇3)
1.数轴
(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.
(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)
(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.
2.相反数
(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.
(3)多重符号的化简：与+个数无关，有奇数个﹣号结果为负，有偶数个﹣号，结果为正.
(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加﹣，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣(m+n)，这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号.
3.绝对值
(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.
①互为相反数的两个数绝对值相等;
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.
③有理数的绝对值都是非负数.
(2)如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a;
③当a是零时，a的绝对值是零.
即|a|={a(a0)0(a=0)﹣a(a0)
4.有理数大小比较
(1)有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到有的顺序，即从大到小的顺序(在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大);也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小.
(2)有理数大小比较的法则：
①正数都大于0;
②负数都小于0;
③正数大于一切负数;
④两个负数，绝对值大的其值反而小.
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1.法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
2.数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数.
3.作差比较：
若a﹣b0，则ab;
若a﹣b0，则a
若a﹣b=0，则a=b.
5.有理数的减法
(1)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即：a﹣b=a+(﹣b)
(2)方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号;
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号(减号变加号);二是减数的性质符号(减数变相反数);
【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换;因为减法没有交换律.
减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算.
6.有理数的乘法
(1)有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
(2)任何数同零相乘，都得0.
(3)多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
(4)方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘.
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单.
7.有理数的混合运算
(1)有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减;同级运算，应按从左到右的顺序进行计算;如果有括号，要先做括号内的运算.
(2)进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化.
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1.转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算.
2.凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解.
3.分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算.
4.巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便.
8.科学记数法表示较大的数
(1)科学记数法：把一个大于10的数记成a10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：a10n，其中1a10，n为正整数.】
(2)规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n.
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号.
9.代数式求值
(1)代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.
(2)代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简;
②已知条件化简，所给代数式不化简;
③已知条件和所给代数式都要化简.
10.规律型：图形的变化类
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.
11.等式的性质
(1)等式的性质
性质1、等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式;
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.
(2)利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化.
应用时要注意把握两关：
①怎样变形;
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的.
12.一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等.
13.解一元一次方程
(1)解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化.
(2)解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母;若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.
(3)在解类似于ax+bx=c的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即(a+b)x=c.使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想.将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时;二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负.
14.一元一次方程的应用
(一)、一元一次方程解应用题的类型有：
(1)探索规律型问题;
(2)数字问题;
(3)销售问题(利润=售价﹣进价，利润率=利润进价100%);
(4)工程问题(①工作量=人均效率人数时间;②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量);
(5)行程问题(路程=速度时间);
(6)等值变换问题;
(7)和，差，倍，分问题;
(8)分配问题;
(9)比赛积分问题;
(10)水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度﹣水流速度).
(二)、利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答.
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.
2.设：设未知数(x)，根据实际情况，可设直接未知数(问什么设什么)，也可设间接未知数.
3.列：根据等量关系列出方程.
4.解：解方程，求得未知数的值.
5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.
15.专题：正方体相对两个面上的文字
(1)对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象.
(2)从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键.
(3)正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面.
中考数学知识点归纳总结(篇4)
1、缺步解答
初一数学考试中如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫大题拿小分，确实是个好主意。
2、跳步答题
初二数学解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向;如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一卡壳处。
由于考试时间的限制，卡壳处的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后，继续有一直做到底，这就是跳步解答。
也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面，事实上，某步可证明或演算如下，以保持卷面的工整。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。
3、退步解答
以退求进是一个重要的解题策略。如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生以偏概全的误解，应开门见山写上本题分几种情况。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举，既必不可少而又不困难。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。
书写也是辅助解答。书写要工整、卷面能得分是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应：书写认真学习认真成绩优良给分偏高。
有些选择题，大胆猜测也是一种辅助解答，实际上猜测也是一种能力。
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初三数学知识点归纳总结
一、相似三角形(7个考点)
考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小
考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小.
考点2：平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理
考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算.
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用.
考点3：相似三角形的概念
考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义.
考点4：相似三角形的判定和性质及其应用
考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用.
考点5：三角形的重心
考核要求：知道重心的定义并初步应用.
考点6：向量的有关概念
考点7：向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算
考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算
二、锐角三角比(2个考点)
考点8：锐角三角比(锐角的正弦、余弦、正切、余切)的概念，30度、45度、60度角的三角比值.
考点9：解直角三角形及其应用
考核要求：(1)理解解直角三角形的意义;(2)会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形.
三、二次函数(4个考点)
考点10：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数
考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义.
考点11：用待定系数法求二次函数的解析式
考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法.
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原.
考点12：画二次函数的图像
考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像;(2)理解二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像.
考点13：二次函数的图像及其基本性质
考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌握一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质.
注意：(1)解题时要数形结合;(2)二次函数的平移要化成顶点式.
四、圆的相关概念(6个考点)
考点14：圆心角、弦、弦心距的概念
考核要求：清楚地认识圆心角、弦、弦心距的概念，并会用这些概念作出正确的判断.
考点15：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
考核要求：认清圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，在理解有关圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及其推论的基础上，运用定理进行初步的几何计算和几何证明.
考点16：垂径定理及其推论
垂径定理及其推论是圆这一板块中最重要的知识点之一.
考点17：直线与圆、圆与圆的位置关系及其相应的数量关系
直线与圆的位置关系可从 与 之间的关系和交点的个数这两个侧面来反映.在圆与圆的位置关系中，常需要分类讨论求解.
考点18：正多边形的有关概念和基本性质
考核要求：熟悉正多边形的有关概念(如半径、边心距、中心角、外角和)，并能熟练地运用正多边形的基本性质进行推理和计算，在正多边形的计算中，常常利用正多边形的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形，将正多边形的计算问题转化为直角三角形的计算问题.
考点19：画正三、四、六边形.
考核要求：能用基本作图工具，正确作出正三、四、六边形.
五、数据整理和概率统计(9个考点)
考点20：确定事件和随机事件
考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件.
考点21：事件发生的可能性大小，事件的概率
考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率.注意：(1)在给可能性的大小排序前可先用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性的大小;(2)事件的概率是确定的常数，而概率是不确定的，可是近似值，与试验的次数的多少有关，只有当试验次数足够大时才能更精确.
考点22：等可能试验中事件的概率问题及概率计算
本考点的考核要求是(1)理解等可能试验的概念，会用等可能试验中事件概率计算公式来计算简单事件的概率;(2)会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率，会用区域面积之比解决简单的概率问题;(3)形成对概率的初步认识，了解机会与风险、规则公平性与决策合理性等简单概率问题.
在求解概率问题中要注意：(1)计算前要先确定是否为可能事件;(2)用枚举法或画“树形图”方法求等可能事件的概率过程中要将所有等可能情况考虑完整.
考点23：数据整理与统计图表
本考点考核要求是：(1)知道数据整理分析的意义，知道普查和抽样调查这两种收集数据的方法及其区别;(2)结合有关代数、几何的内容，掌握用折线图、扇形图、条形图等整理数据的方法，并能通过图表获取有关信息.
考点24：统计的含义
本考点的考核要求是：(1)知道统计的意义和一般研究过程;(2)认识个体、总体和样本的区别，了解样本估计总体的思想方法.
考点25：平均数、加权平均数的概念和计算
本考点的考核要是：(1)理解平均数、加权平均数的概念;(2)掌握平均数、加权平均数的计算公式.注意：在计算平均数、加权平均数时要防止数据漏抄、重抄、错抄等错误现象，提高运算准确率.
考点26：中位数、众数、方差、标准差的概念和计算
考核要求：(1)知道中位数、众数、方差、标准差的概念;(2)会求一组数据的中位数、众数、方差、标准差，并能用于解决简单的统计问题.
注意：当一组数据中出现极值时，中位数比平均数更能反映这组数据的平均水平;(2)求中位数之前必须先将数据排序.
考点27：频数、频率的意义，画频数分布直方图和频率分布直方图
考核要求：(1)理解频数、频率的概念，掌握频数、频率和总量三者之间的关系式;(2)会画频数分布直方图和频率分布直方图，并能用于解决有关的实际问题.解题时要注意：频数、频率能反映每个对象出现的频繁程度，但也存在差别：在同一个问题中，频数反映的是对象出现频繁程度的绝对数据，所有频数之和是试验的总次数;频率反映的是对象频繁出现的相对数据，所有的频率之和是1.
考点28：中位数、众数、方差、标准差、频数、频率的应用
本考点的考核要是：(1)了解基本统计量(平均数、众数、中位数、方差、标准差、频数、频率)的意计算及其应用，并掌握其概念和计算方法;(2)正确理解样本数据的特征和数据的代表，能根据计算结果作出判断和预测;(3)能将多个图表结合起来，综合处理图表提供的数据，会利用各种统计量来进行推理和分析，研究解决有关的实际生活中问题，然后作出合理的解决.
高中数学必修5知识点总结归纳
篇一：高中数学必修5等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳
1、等比数列的定义：2、通项公式：
an?a1qn?1?
a1n
q?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q
q
an?q?naman
?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1
推广：an?amqn?m?qn?m?3、等比中项：
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A2?
ab或A?注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列?an?是等比数列?an2?an?1?an?1 4、等比数列的前n项和Sn公式：
（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn?
?
a1?1?qn?1?q
?
a1?anq
1?q
a1a
?1qn?A?A?Bn?ABn?A（A,B,A,B为常数） 1?q1?q
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或
an?1
?q(q为常数，an?0)?{an}为等比数列 an
（2）等比中项：an2?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?Bn?A?B?0??{an}为等比数列
6、等比数列的证明方法：
a
依据定义：若n?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列
an?17、等比数列的性质：
（2）对任何m,n?N*，在等比数列{an}中，有an?amqn?m。
（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N*)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得an?am?ak2注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???
ak
（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，n（k为非零
bnan
常数）均为等比数列。
（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N*)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列 （6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列 （7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列
（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列
1
a1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列
a1?0，则{an}为递减数列{②当0q?1时，a1?0，则{an}为递增数列
③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q?0时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(n?N*)时，
S奇1
? S偶q
二、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
14
1、数列?an?满足an??an?1?n?2?，a1?，则a4?_________．
33
2、在数列?an?中，若a1?1，an?1?2an?1?n?1?，则该数列的通项an?______________． 考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列?an?的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?（ ） A．?4 B．?6C．?8 D．?10 2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交点的个数为（ ） A．0
B．1 C．2 D．不确定
20
3、已知数列?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?，求?an?的通项公式．
3
考点三：等比数列及其前n项和的基本运算
291
1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）
383
A．3 B．4C．5 D．6
2、已知等比数列?an?中，a3?3，a10?384，则该数列的通项an?_________________． 3、若?an?为等比数列，且2a4?a6?a5，则公比q?________． 4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则 A．
2a1?a2
的值为（ ）
2a3?a4
111 B． C． D．1 428考点四：等比数列及其前n项和性质的应用
1、在等比数列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3为（ ）
316
C． D．2 29
2、如果?1，a，b，c，?9成等比数列，那么（ ） A．b?3，ac?9 B．b??3，ac?9 C．b?3，ac??9 D．b??3，ac??9
A．4 B．
3、在等比数列?an?中，a1?1，a10?3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（ ） A．81
B
．C
2
D．243
4、在等比数列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，则a99?a100等于（ ）
b9b10?b??b?A．8B．??C．9D．??
aa?a??a?
9
10
5、在等比数列?an?中，a3和a5是二次方程x2?kx?5?0的两个根，则a2a4a6的值为（） A．25
B
．
C
．?
D
．?
6、若?an?是等比数列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于?S,(n?1)
考点五：公式an??1的应用
?Sn?Sn?1,(n?2)
1．等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )
11
A.(2n-1)2 B.(2n-1)2 C.4n-1 D.(4n-1)
33
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.
3．设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N*都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
3
篇二：高中数学必修一至必修五知识点总结完整版
高中数学必修1知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ ? } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：列举法与描述法。
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}
4、集合的分类：
（1）．有限集含有有限个元素的集合
（2）．无限集含有无限个元素的集合
（3）．空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集，记作A? B(或B? A)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象． 集合C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ p(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应， 那么就称对应f：A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A→ B” 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应
法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征． 解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值.
补充一：分段函数（参见课本p24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g 的复合函数。
例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当ab时，都有f(a)f(b)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当ab 时，都有f(a)＞f(b)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当ab时，总有f(a)f(b) 。
（2） 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取a，b∈D，且ab；2 作差f(a)－f(b)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(a)－f(b)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）
（1）、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值.（2）、 利用图象求函数的最大（小）值（3）、 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
篇三：人教版数学必修五知识点总结
第一章 解三角形
1、内角和定理：（1）三角形三角和为?，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．（2）锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正??
2、正弦定理：???2R（R为三角形外接圆的半径）． (1)a:b:c?sinA:sinB:sinC;(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
（3）解三角形：已知三角形的几个元素求另外几个元素的过程。
可求其它边和角?已知两角和任意一边， ?，可求其它元素?已知两边和一边的对角
注意：已知两边一对角，求解三角形，若用正弦定理，则务必注意可能有两解．
?b2?c2?a2
?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bccosA?222a?c?b??2223、余弦定理： （求边）?b?a?c?2accosB 或 （求角）?cosB?2ac??c2?a2?b2?2abcosC222??cosC?a?b?c
?2ab?
已知两边一角求第三边??． 已知三边求所有三个角（注:常用余弦定理鉴定三角形的类型）??已知两边和一边对角，求其它?
?1?2absinC
?1abc?14、三角形面积公式：S?aha??bcsinA?． 224R??1acsinB??2
5、解三角形应用
（1）在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）从正北方向顺时针转到目标方向的水平角叫方位角。
（3）坡面与水平面所成的二面角度数的正切值叫做坡度。
（4）解斜三角形应用题的一般步骤：
分析→建模→求解→检验
第二章 数 列
1．数列的通项、数列的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：an?,(n?1)?SS?S,(n?2)1
nn?1（必要时请分类讨论）．
注意：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；an?
2．等差数列{an}中：
（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性． anan?1a ????2?a1．an?1an?2a1
?d?0?数列单调递增?，可知d的取值为d?R. ?d?0?数列为常数列
?d?0?数列单调递减?
（2）an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d；p?q?m?n?ap?aq?am?an．
（3）??1an??2bn?、{kan}也成等差数列．
（4）在等差数列{an}中，若am?n,an?m(m?n),则am?n?0.
（5）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?仍成等差数列．
（6）Sn?n(a1?an)n(n?1)ddSd，Sn?n2?(a1?)n，an?2n?1，，Sn?na1?。 2n?12222
amS2m?1?. bmT2m?1?an??（7）若Sn,Tn分别为等差数列,bn?的前项和，则两数列第m项之比
（8）若?an?为等差数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等差数列。
（9）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；
“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；
（10）两数的等差中项惟一存在．在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解．
（11）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法（也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式）．
3．等比数列{an}中：
（1）等比数列的符号特征（全正或全负或一正一负），等比数列的首项、公比与等比数列的单调性．
（2）an?a1qn?1?amqn?m； p?q?m?n?bp?bq?bm?bn．
（3）{an}、{bn}成等比数列{|an|}、an,??a???
a1?、，??{ka}ab??b2
?n?nnn??成等比数列．
?n?n
（4）a1?a2???am,ak?ak?1???ak?m?1,?成等比数列．
?na1 (q?1)?na1 (q?1)????a1n（5）Sn??a1?anqa1(1?qn)． a1?q? (q?1)? (q?1)?1?q?1?q1?q1?q??
特别：an?bn?(a?b)(an?1?an?2b?an?3b2???abn?2?bn?1)．
（6）若?an?为等比数列，则其前m项和、中间m项和、后m项和Sm,S2m?Sm,S3m?S2m成等比数列。
（7）“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
（8）有限等比数列中，若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和．
（9）等比中项要么不存在，要么仅当实数a,b
同号时存在，且必有一对G?
（10）判定是否是等比数列的方法：定义法、中项法、通项法、和式法。
4．等差数列与等比数列的联系
（1）如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}（An总有意义）必成等比数列．
（2）如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列．
（3）如果数列{an}既成等差又成等比，那么数列{an}是非零常数数列；但反之不成立。
（4）如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
5．数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），
②等比数列求和公式（三种形式）， aa
2222③1?2?3???n?n(n?1)，1?2?3???n?n(n?1)(2n?1)，26
1?3?5???(2n?1)?n2，1?3?5???(2n?1)?(n?1)2．
（2）分组求和法：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．
（3）倒序相加法；（4）错位相减法；
（5）裂项相消法： ①??， ②?(?)， 特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查公比与1的关系，必要时分类讨论．
三、不等式
1．（1）求不等式的解集，务必用集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值．
（2）解分式不等式f?x??a?a?0?（移项通分，等价为分子分母相乘大于或小于0）； gx（3；
（4）解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论．注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集．
2．利用重要不等式a?b?2ab 以及变式ab?()等求函数的最值时，务必注意a，2
b?R，且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值（一正二定三相等）．
???3．
2??
a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）
4．比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法
5．含绝对值不等式的性质： 222
a、b同号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；
a、b异号或有0?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|．
6．不等式的恒成立问题
若不等式f?x??A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?min?A
若不等式f?x??B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f?x?max?B
二次函数的知识点归纳总结
篇一：二次函数知识点概括总结
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 二次函数基础知识
? 相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，
c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
数．
? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，
? 二次函数各种形式之间的变换
? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
2
b4ac?b2
h??，k?.
2a4a
? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④
2
y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.
2
? 二次函数解析式的表示方法
? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
?
a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
b
.特别地，y轴记作直线x?0. 2a
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??
b4ac?b2
（?）? 顶点坐标坐标：
2a4a
? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系 ? 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大 小．
? 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
b
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：
? 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，
? 求抛物线的顶点、对称轴的方法
当b?0时，?
b4ac?b2b?4ac?b2?
（?）? 公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线??
2a4a2a?4a?
bx??.
2a
2
? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对
称轴是直线x?h.
2
2
? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式
? 一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. ? 直线与抛物线的交点
?
y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).
2
22
? 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).
? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.
? 平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标
是ax?bx?c?k的两个实数根.
2
一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，
2
2
? 由方程组 ?
?y?kx?n?y?ax?bx?c
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②
方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于
x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bc
x1?x2??,x1?x2?
aa
AB?x1?x2?
x1?x22
?
x1?x22
b2?4ac??b?4c
?4x1x2???????
aaaa??
2
? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
? 关于x轴对称
y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； ? 关于y轴对称
y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
22
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； ? 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；
? 关于顶点对称
2
2
22
b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；
2a
22
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
2
2
? 关于点?m，n?对称
n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，
2
2
? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不
变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是
先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
? 二次函数图象的平移
? 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 ? 三点式。
1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
２
2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 ? 顶点式。
22
1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 ? 交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=? 定点式。
1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??
1
a(x-2a)(x-b)的解析式。 2
125?ax?x?2a?2经过x 轴上一定点Q，直线22
y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
2
3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 ? 平移式。
22
1， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) +k,求此抛物
线解析式。 2， 抛物线y??x2?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。
2
1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 ? 对称轴式。
22
1、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、 已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=
2
2
3
OC，求此抛物4
线的解析式。 ? 对称式。
1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿
x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2
2， 求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 ? 切点式。
22
1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。
22
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。
2
2、 已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
2
3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
知识点一、 二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
2
（2）两根当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和
2
x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为
两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)
2
知识点二、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??
b
时，2a
y最值
4ac?b2?。
4a
如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?
b
是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在2a
b4ac?b2
此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减
2a4a
2
性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，2
如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1当x?x2y最小?ax12?bx1?c；?bx1?c，2
时，y最小?ax2?bx2?c。
☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上
a0时，抛物线开口向下
b
b与对称轴有关：对称轴为x=?
2a
（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
2、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?0时，图像与x轴没有交点。
2
篇二：二次函数知识归纳与总结
二次函数知识归纳与总结
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。
a不为零
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x??
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
2
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
2
（2）两根当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程
2
ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式
y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b4ac?b2x??时，y最值?。
2a4a
如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?
b
是否在自变量取值范围2a
b4ac?b2
时，y最值?；若不在此范围内，则x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?2a4a
需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
2
x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c。
二次函数的性质
2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上
a0时，抛物线开口向下
b
b与对称轴有关：对称轴为x=?
2a
（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?0时，图像与x轴没有交点。
2
中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB的长度为
0x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；
k?处，具体平移方法如下：
② 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，
2
向右(h0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h0)】
③平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提
高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y2?y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
k?tan??
x2?x1
4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y?y1?kx?b?(ta?n)x?b?
y2?y1
x(x?x1)此公式有多种变形 牢记 x2?x1
②点斜y?y1?kx(x?x1)
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
④截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
xy??1 ab
牢记 口诀 ---截距
两点斜截距--两点 点斜 斜截
5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有
l1//l2?k1?k2且b1?b2。若
l1?l2?k1?k2??1
6、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
d?
kx0?y0?bk?(?1)
2
2
?
kx0?y0?b
k?1
2
7、抛物线y?ax2?bx?c中， a b c,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
2
2
x??
bb
，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aa
篇三：二次函数知识点总结
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，
c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
2
2
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2
2. y?ax?c的性质： 上加下减。
2
3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。4.
2
y?a?x?h??k的性质：
2
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
2
2
向右(h0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴
y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵
y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或
y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较
2
2
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
2
b?4ac?b2b4ac?b2?
y?a?x???，其中h??． ，k?
2a?4a2a4a?
五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
2
2
2
2
c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、以及?0，y轴的交点?0，
0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点?x1，
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与
六、二次函数y?ax?bx?c的性质
2
y轴的交点.
?b4ac?b2?b
1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为???． 2a4a2a??
?b4ac?b2?bb
2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的增大而增大；当?．当x??
2a4a2a2a??
bb4ac?b2
． x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
2
1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2
2. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即
b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a
二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?
2
b
?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a
b
?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a
b
?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a
b
?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??
总结：3. 常数项c
b
在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同右异” 2a
y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
⑴ 当c?0时，抛物线与
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?ax?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c；
2
2
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
2. 关于
22
y轴对称
2
y?ax?bx?c关于
2
y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
2
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
3. 关于原点对称
y?ax?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
2
2
2
b2
y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；
2a
2
2
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
n?对称5. 关于点?m，
22
n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
2
一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.
2
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图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，
2
ax?bx?c?0?a?
0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x12
② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
2
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示
2
2
y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
y=-2x2