初二数学一次函数知识点总结。
在日常的学习工作中，我们偶尔会需要写总结。写总结可以丰富我们的专业知识，提升专业水平。我们写下的总结，在另一方面提醒着我们：有时候，为他人创造价值，也是在为自己创造价值。那么我们在写总结时要考虑什么呢？小编特地为大家精心收集和整理了“初二数学一次函数知识点总结”，供您参考，希望能够帮助到大家。
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
知识点2 函数的图象
由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点。.不必一定选取这两个特殊点.
画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0，0)，(1，k)即可.
知识点3一次函数y=kx+b(k，b为常数，k0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k0时，y的值随x值的增大而增大;
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大
①当b0时，直线与y轴交于正半轴上;
②当b0时，直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.
(4)由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同;
①如图所示，当k0，b0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图所示，当k0，b
③如图所示，当k﹤O，b0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图所示，当k﹤O，b﹤O时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的.另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x+1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点4 正比例函数y=kx(k0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点5 点p(x0，y0)与直线y=kx+b的图象的关系
(1)如果点p(x0，y0)在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b;
(2)如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点p(1，2)必在函数的图象上.
例如：点p(1，2)满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点p(1，2)在直线y=x+l的图象上;点p(2，1)不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点p(2，1)不在直线y=x+l的图象上.
知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x，y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx+b(k0)中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值.
知识点7 待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数.
知识点8 用待定系数法 确定一次函数表达式一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx+b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组);
(3)求出k与b的值，得到函数表达式.
思想方法小结 (1)函数方法.(2)数形结合法.
知识规律小结 (1)常数k，b对直线y=kx+b(k0)位置的影响.
①当b0时，直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时，直线经过原点;
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交.
②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交;
当b=0时，直线经过原点;
当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交.
③当kO，bO时，图象经过第一、二、三象限;
当k0，b=0时，图象经过第一、三象限;
当bO，b
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初中生数学一次函数知识点总结
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常数，k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1.作法与图形：通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线，可以作出一次函数的图像--一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
2.性质：(1)在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式：y=kx b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;
当b=0时，直线通过原点
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=o时，直线通过原点o(0，0)表示的是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点a(x1，y1);b(x2，y2)，请确定过点a、b的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx b。
(2)因为在一次函数上的任意一点p(x，y)，都满足等式y=kx b。所以可以列出2个方程：y1=kx1 b …… ① 和 y2=kx2 b …… ②
(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：(x1-x2)^2 (y1-y2)^2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
一次函数知识点总结
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量)，特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
知识点2 函数的图象
由于两点确定一条直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点，直线与x轴的交点。.不必一定选取这两个特殊点.
画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点(0，0)，(1，k)即可.
知识点3一次函数y=kx b(k，b为常数，k≠0)的性质
(1)k的正负决定直线的倾斜方向;
①k>0时，y的值随x值的增大而增大;
②k﹤o时，y的值随x值的增大而减小.
(2)|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大
①当b>0时，直线与y轴交于正半轴上;
②当b<0时，直线与y轴交于负半轴上;
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数.
(4)由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同;
①如图所示，当k>0，b>0时，直线经过第一、二、三象限(直线不经过第四象限);
②如图所示，当k>0，b
③如图所示，当k﹤o，b>0时，直线经过第一、二、四象限(直线不经过第三象限);
④如图所示，当k﹤o，b﹤o时，直线经过第二、三、四象限(直线不经过第一象限).
(5)由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的.另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x 1可以看作是正比例函数y=x向上平移一个单位得到的.
知识点4 正比例函数y=kx(k≠0)的性质
(1)正比例函数y=kx的图象必经过原点;
(2)当k>0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(3)当k<0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
知识点5 点p(x0，y0)与直线y=kx b的图象的关系
(1)如果点p(x0，y0)在直线y=kx b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx b;
(2)如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点p(1，2)必在函数的图象上.
例如：点p(1，2)满足直线y=x 1，即x=1时，y=2，则点p(1，2)在直线y=x l的图象上;点p′(2，1)不满足解析式y=x 1，因为当x=2时，y=3，所以点p′(2，1)不在直线y=x l的图象上.
知识点6 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
(1)由于正比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只需一个条件(如一对x，y的值或一个点)就可求得k的值.
(2)由于一次函数y=kx b(k≠0)中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值.
知识点7 待定系数法
先设待求函数关系式(其中含有未知常数系数)，再根据条件列出方程(或方程组)，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.其中未知系数也叫待定系数.例如：函数y=kx b中，k，b就是待定系数.
知识点8 用待定系数法 确定一次函数表达式一般步骤
(1)设函数表达式为y=kx b;
(2)将已知点的坐标代入函数表达式，解方程(组);
(3)求出k与b的值，得到函数表达式.
思想方法小结 (1)函数方法.(2)数形结合法.
知识规律小结 (1)常数k，b对直线y=kx b(k≠0)位置的影响.
①当b>0时，直线与y轴的正半轴相交;
当b=0时，直线经过原点;
当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交.
②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交;
当b=0时，直线经过原点;
当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交.
③当k>o，b>o时，图象经过第一、二、三象限;
当k>0，b=0时，图象经过第一、三象限;
当b>o，b
二次函数的知识点归纳总结
篇一：二次函数知识点概括总结
二次函数知识点总结及相关典型题目
第一部分 二次函数基础知识
? 相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这? 二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，
c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
数．
? 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，
? 二次函数各种形式之间的变换
? 二次函数y?ax2?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
2
b4ac?b2
h??，k?.
2a4a
? 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y?ax2；②y?ax2?k；③y?a?x?h?；④
2
y?a?x?h??k；⑤y?ax2?bx?c.
2
? 二次函数解析式的表示方法
? 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
? 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
? 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
? 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. ? 抛物线y?ax2?bx?c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
?
a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
b
.特别地，y轴记作直线x?0. 2a
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
? 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x??
b4ac?b2
（?）? 顶点坐标坐标：
2a4a
? 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口
大小完全相同，只是顶点的位置不同. ? 抛物线y?ax2?bx?c中，a,b,c与函数图像的关系 ? 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大 小．
? 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
b
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
b
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线的对称轴就是y轴；
2ab
当b?0时，??0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：
? 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，
? 求抛物线的顶点、对称轴的方法
当b?0时，?
b4ac?b2b?4ac?b2?
（?）? 公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是直线??
2a4a2a?4a?
bx??.
2a
2
? 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对
称轴是直线x?h.
2
2
? 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是
抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. ? 用待定系数法求二次函数的解析式
? 一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ? 顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
2
? 交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. ? 直线与抛物线的交点
?
y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c).
2
22
? 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah?bh?c).
? 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.
? 平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标
是ax?bx?c?k的两个实数根.
2
一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交点，
2
2
? 由方程组 ?
?y?kx?n?y?ax?bx?c
2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②
方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
? 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，0?，B?x2，0?，由于
x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bc
x1?x2??,x1?x2?
aa
AB?x1?x2?
x1?x22
?
x1?x22
b2?4ac??b?4c
?4x1x2???????
aaaa??
2
? 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
? 关于x轴对称
y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； ? 关于y轴对称
y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
22
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； ? 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k；
? 关于顶点对称
2
2
22
b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；
2a
22
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
2
2
? 关于点?m，n?对称
n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，
2
2
? 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不
变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是
先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
? 二次函数图象的平移
? 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
? 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 ? 三点式。
1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（，0），B（2，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。
２
2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 ? 顶点式。
22
1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 ? 交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2
2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=? 定点式。
1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??
1
a(x-2a)(x-b)的解析式。 2
125?ax?x?2a?2经过x 轴上一定点Q，直线22
y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
2
3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 ? 平移式。
22
1， 把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) +k,求此抛物
线解析式。 2， 抛物线y??x2?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ? 距离式。
2
1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
2，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 ? 对称轴式。
22
1、抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
2、 已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=
2
2
3
OC，求此抛物4
线的解析式。 ? 对称式。
1， 平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿
x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。
2
2， 求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 ? 切点式。
22
1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。
2
2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 ? 判别式式。
22
1、已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。
2
2、 已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。
2
3、已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
知识点一、 二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
2
（2）两根当抛物线y?ax2?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实根x1和
2
x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为
两根式y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小,a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)?k(a,h,k是常数，a?0)
2
知识点二、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x??
b
时，2a
y最值
4ac?b2?。
4a
如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?
b
是否在自变量取值范围x1?x?x2内，若在2a
b4ac?b2
此范围内，则当x=?时，y最值?；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减
2a4a
2
性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，2
如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1当x?x2y最小?ax12?bx1?c；?bx1?c，2
时，y最小?ax2?bx2?c。
☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：
知识点四、二次函数的性质
1、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上
a0时，抛物线开口向下
b
b与对称轴有关：对称轴为x=?
2a
（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
2、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?0时，图像与x轴没有交点。
2
篇二：二次函数知识归纳与总结
二次函数知识归纳与总结
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，特别注意那么y叫做x 的二次函数。
a不为零
y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于x??
b
对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线y?ax?bx?c与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
2
二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)
2
（2）两根当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程
2
ax2?bx?c?0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式
ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数y?ax2?bx?c可转化为两根式
y?a(x?x1)(x?x2)。如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点顶点式：y?a(x?h)2?k(a,h,k是常数，a?0)
二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
b4ac?b2x??时，y最值?。
2a4a
如果自变量的取值范围是x1?x?x2，那么，首先要看?
b
是否在自变量取值范围2a
b4ac?b2
时，y最值?；若不在此范围内，则x1?x?x2内，若在此范围内，则当x=?2a4a
需要考虑函数在x1?x?x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当
2
x?x2时，y最大?ax2?bx2?c，当x?x1时，y最小?ax12?bx1?c；如果在此范围内，2y随x的增大而减小，则当x?x1时，y最大?ax1?bx1?c，当x?x2时，2y最小?ax2?bx2?c。
二次函数的性质
2、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a0时，抛物线开口向上
a0时，抛物线开口向下
b
b与对称轴有关：对称轴为x=?
2a
（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点； 当?0时，图像与x轴没有交点。
2
中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B则AB间的距离，即线段AB的长度为
0x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?；
k?处，具体平移方法如下：
② 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，
2
向右(h0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h0)】
③平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提
高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
y2?y1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程：
k?tan??
x2?x1
4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
y?y1?kx?b?(ta?n)x?b?
y2?y1
x(x?x1)此公式有多种变形 牢记 x2?x1
②点斜y?y1?kx(x?x1)
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0)
④截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
xy??1 ab
牢记 口诀 ---截距
两点斜截距--两点 点斜 斜截
5、设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有
l1//l2?k1?k2且b1?b2。若
l1?l2?k1?k2??1
6、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
d?
kx0?y0?bk?(?1)
2
2
?
kx0?y0?b
k?1
2
7、抛物线y?ax2?bx?c中， a b c,的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
2
2
x??
bb
，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aa
篇三：二次函数知识点总结
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，
c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
2
2
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2
2. y?ax?c的性质： 上加下减。
2
3. y?a?x?h?的性质：
左加右减。4.
2
y?a?x?h??k的性质：
2
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?； ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
2
2
向右(h0)【或左(h平移|k|个单位
【或左(h0)】
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴
y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵
y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或
y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较
2
2
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
2
2
b?4ac?b2b4ac?b2?
y?a?x???，其中h??． ，k?
2a?4a2a4a?
五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
2
2
2
2
c?、c?关于对称轴对称的点?2h，c?、以及?0，y轴的交点?0，
0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 与x轴的交点?x1，
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与
六、二次函数y?ax?bx?c的性质
2
y轴的交点.
?b4ac?b2?b
1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为???． 2a4a2a??
?b4ac?b2?bb
2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的增大而增大；当?．当x??
2a4a2a2a??
bb4ac?b2
． x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值
2a2a4a
七、二次函数解析式的表示方法
2
1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2
2. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即
b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a
二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?
2
b
?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2a
b
?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a
b
?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2a
b
?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a
b
?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??
总结：3. 常数项c
b
在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同右异” 2a
y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
⑴ 当c?0时，抛物线与
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?ax?bx?c关于x轴对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c；
2
2
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
2. 关于
22
y轴对称
2
y?ax?bx?c关于
2
y轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c；
2
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k；
3. 关于原点对称
y?ax?bx?c关于原点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c； y?a?x?h??k关于原点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
2
2
2
2
b2
y?ax?bx?c关于顶点对称后，得到的解析式是y??ax?bx?c?；
2a
2
2
y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k．
n?对称5. 关于点?m，
22
n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
2
一元二次方程ax?bx?c?0是二次函数y?ax?bx?c当函数值y?0时的特殊情况.
2
22
图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程① 当??b?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，
2
ax?bx?c?0?a?
0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x12
② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
2. 抛物线y?ax?bx?c的图象与3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
2
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示
2
2
y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
图像参考：
y=-2x2