正弦定理教案

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向量证明正弦定理

表述：设三面角∠p-abc的三个面角∠bpc，∠cpa，∠apb所对的二面角依次为∠pa，∠pb，∠pc，则 sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。

过a做oa⊥平面bpc于o。过o分别做om⊥bp于m与on⊥pc于n。连结am、an。 显然，∠pb=∠amo，sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano，sin∠pc=ao/an。 另外，sin∠cpa=an/ap，sin∠apb=am/ap。 则sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。 同理可证sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得证三面角正弦定理。

如图1，△abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c

在向量等式两边同乘向量j,得・

∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)

记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c

=a・cos(180-(c-90))+b・0+c・cos(90-a)

步骤2.

在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h

步骤3.

证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圆o.

作直径bd交⊙o于d. 连接da.

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c.

用向量叉乘表示面积则 s = cb 叉乘 ca = ac 叉乘 ab

=>absinc = bcsina (这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法)

记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,接着得到正弦定理 其他步骤2. 在锐角△abc中，证明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,

4

过三角形abc 的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边bc上时，向量ab 与向量ad

每位教师在进行授课时都需要准备完整的教学课件，这需要老师们对待教学认真负责。对于新老师而言，若想让课堂更有趣，就需要在教案和课件上下功夫。如果您想获得更全面的认识，可以考虑阅读名为“正弦定理教案”的相关文章。如果合适您的需求，不妨把本页收藏起来哟！

课前放映一些有关军事题材的图片，并在课首给出引例：一天，我核潜艇a正在某海域执行巡逻任务，突然发现其正东处有一敌艇b正以30海里/小时的速度朝北偏西40°方向航行。经研究，决定向其发射鱼雷给以威慑性打击。已知鱼雷的速度为60海里/小时，问怎样确定发射角度可击中敌舰？

（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。

用几何画板模拟演示鱼雷及敌舰行踪,在探讨鱼雷发射角度的过程中，抽象出一个解三角形问题：

从而抽象出一个雏形:

3、测量角a的实际角度,与猜测有误差,从而产生矛盾:

定性研究如何转化为定量研究?

（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。

提出问题:

1、如何对以上等式进行检验呢?激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，筛选出能成立的等式。

2、那这一结论对任意三角形都适用吗？指导学生用刻度尺、圆规、计算器等工具对一般三角形进行验证。

（四）让学生进行各种尝试，探寻理论证明的方法。

提出问题:

1、如何把猜想变成定理呢？使学生注意到猜想和定理的区别，强化学生思维的严密性。

2、怎样进行理论证明呢？培养学生的转化思想，通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。

3、你能找出它们的比值吗？借以检验学生是否掌握了以上的研究思路。用几何画板动画演示，找到比值，突破难点。

4、将猜想变为定理，并用以解决课首提出的问题，并进行适当的思想教育。

本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课，授课前并没有告诉学生授课内容。学生在未经预习不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了定理并证明了定理，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的兴趣。

（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点：

1．从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、

经过搜索整理，工作总结之家为你呈现“正弦定理教案”，为防遗忘，建议你收藏本页。老师在上课前需要有教案课件，老师在写教案课件的时候不能敷衍了事。教案的编写需要注意评估和反馈的意义和作用。

一、说教材

正弦定理是高中新教材人教a版必修五第一章1.1.1的内容，是学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形的边长与角度之间的数量关系。提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生的学习兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

(1)已知两角和一边，解三角形;

(2)已知两边和其中一边的对角，解三角形。

二、说学情

本节授课对象是高二学生，是在学生学习了必修四基本初等函数和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。高二学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激发学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。

三、说教学目标

【知识与技能目标】

能准确写出正弦定理的符号表达式，能够运用正弦定理理解三角形、初步解决某些测量和几何计算有关的简单的实际问题。

【过程与方法目标】

通过对定理的证明和应用，锻炼独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。

【情感态度价值观目标】

通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识。

四、教学重难点

【重点】

正弦定理及其推导。

【难点】

正弦定理的推导与正弦定理的运用。

五、说教学方法

运用“发现问题——自主探究——尝试指导——合作交流”的教学方式，整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：师生互动、共同探索，教师指导、循序渐进。

新课引入——提出问题，激发学生的求知欲。掌握正弦定理的推导证明——分类讨论，数形结合动脑思考，由一般到特殊，组织学生自主探索，获得正弦定理及证明过程。

例题处理——始终由问题出发，层层设疑，让他们在探索中得到知识。巩固练习——深化对正弦定理的理解。

六、说教学过程

(一)导

本编辑对这篇“余弦定理教案”文章非常喜欢，认为它十分有价值值得一读。在阅读后，也请大家分享给朋友。制作教案课件是老师工作的重要组成部分，需要我们静下心来认真写出。而教案和课件也是实现现代教学理念的必备工具。

各位老师

大家好！

今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。下面我分别从教材分析。目标的确定。方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。

一、教材分析

本节内容是江苏出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。

在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。

二、教学目标的确定

基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：

1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；

2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；

3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、

三、教学方法的选择

基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得